Módulo

Módulo é a distância entre um número qualquer e o ponto 0 (que é considerado a origem da reta) numa reta, por exemplo, se você puder observar essa imagem:





pode ver que tanto do número 4 quanto para o -4 a distância do número 0 é a mesma, 4 números, ou seja, tanto o módulo de 4 quanto o de -4 é igual a 4.

Escreve-se dessa forma essa sentença matemática:
|4| = 4 ou |-4| = 4

O mesmo é com qualquer outro número, o seu módulo nada mais é que seu número positivo.


∣∣∣x∣∣∣={x,se x≥0−x,se x<0


Ex:

|1000| = 1000 e |-1000| = 1000

|356.895.000| = 356.895.000 e |-356.895.000| = 356.895.000

*Propriedades do Módulo

1) |a| = |-a|, para todo a real

Não é difícil constatar isso. Observe:

|2| = 2
|5| = 5
|-2| = 2
|-5| = 5

2) |x²|=|x|² = x², para todo x real

Verifiquemos isso para todas as possibilidades de valores de x: positivo, nulo ou negativo.

a) para x = 5
5² = 25
|5|² = 5² = 25
|5²|=|25|= 25

b) para x = 0
0² = 0
|0|² = 0² = 0
|0²|=|0|= 0

c) para x = -3
(-3) ² = 9
|-3|² = 3² = 9
|(-3) ²|=|9|= 9

Associada a essa propriedade está o fato de que

x2−−√=∣∣x∣∣

CUIDADO! É errado pensar que

x2−−√=x

Isso só é verdadeiro para x ≥ 0.

Veja:
Para x = 7

x2−−√=72−−√=49−−√=7=x

Para x = -2
x2−−√=(−2)2−−−−−√=4√=2≠x

3) |a . b|=|a|.|b|, para quaisquer a e b reais
Veja:

a) a e b positivos
a = 3 e b = 5
|3 . 5|= |15|= 15
|3|.|5|= 3 . 5 = 15

b) a e b de sinais opostos
a = -2 e b = 4
|-2 . 4|= |-8|= 8
|-2|.|4|= 2 . 4 = 8

c) a e b negativos
a = -7 e b = -10
|-7 . (-10)|= |70|= 70
|-7|.|-10|= 7 . 10 = 70

4) |a + b|≤|a|+|b|, para quaisquer a e b reais
a) a e b positivos
a = 6 e b = 5
|6 + 5|= |11|= 11
|6|+|5|= 6 + 5 = 11
|6 + 5|=|6|+|5|

b) a e b de sinais opostos
a = -5 e b =1
|-5 + 1|= |-4|= 4
|-5|+|1|= 5 + 1 = 6
|-5 + 1|<|-5|+|1|

c) a e b negativos
a = -8 e b = -3
|-8 + (-3)|= |-11|= 11
|-8|+|-3|= 8 + 3 = 11
|-8 + (-3)|= |-8|+|-3|

5)||a|-|b||≤|a - b|, para quaisquer a e b reais
d) a e b positivos
a = 4 e b = 1
||4|-|1||=|4 - 1|= |3|= 3
|4 - 1|= |3|= 3
||4|-|1||=|4 - 1|

e) a e b de sinais opostos
a = -1 e b =9
||-1|-|9||=|1 - 9|= |-8|= 8
|-1 - 9|= |-10|= 10
||-1|-|9||<|-1 - 9|

f) a e b negativos
a = -10 e b = -3
||-10|-|-3||=|10 - 3|= |7|= 7
|-10 - (-3)|= |-7|= 7
||-10|-|-3||=|-10 - (-3)|

g) a e de sinais opostos
a = 4 e b = -3
||4|-|-3||=|4 - 3|= |1|= 1
|4 - (-3)|= |7|= 7
||4|-|-3||<|4 - (-3)|

Além dessas propriedades, não é difícil verificar que |a - b|=| b - a|, para quaisquer a e b reais.