Progressão aritmética
Chamamos de progressão aritmética, ou simplesmente de PA, a toda seqüência em que cada número, somado a um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. O número fixo é chamado de razão da progressão e os números da seqüência são chamados de termos da progressão.
Observe os exemplos:
50, 60, 70, 80 -> é uma PA de 4 termos, com razão 10.
3, 5, 7, 9, 11, 13 -> é uma PA de 6 termos, com razão 2.
-8, -5, -2, 1, 4 -> é uma PA de 5 termos, com razão 3.
156, 152, 148 -> é uma PA de 3 termos, com razão -4.
100, 80, 60, 40 -> é uma PA de 4 termos, com razão -20.
6, 6, 6, 6,..... -> é uma PA de infinitos termos, com razão 0.
*Numa PA de 7 termos, o primeiro deles é 6, o segundo é 10. Escreva todos os termos dessa PA.
6, 10, 14, 18, 22, 26, 30
*Numa PA de 5 termos, o último deles é 201 e o penúltimo é 187. Escreva todos os termos dessa PA.
145, 159, 173, 187, 201
*Numa PA de 8 termos, o 3º termo é 26 e a razão é -3. Escreva todos os termos dessa PA.
32, 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11
*Numa PA, o 1º termo é 45 e o 2º termo é 80. Qual a razão dessa PA.
*Numa PA, o 5º termo é -7 e o 6º termo é 15. Qual a razão dessa PA.
Símbolos usados nas progressões
Em qualquer seqüência, costumamos indicar o primeiro termo por a1, o segundo termo por a2, o terceiro termo por a3, e assim por diante. Generalizando, o termo da seqüência que está na posição n é indicado por an.
Veja alguns exemplos
Na PA 2, 12, 22, 32 temos: a1 = 2, a2 = 12, a3 = 22 e a4 = 32
Quando escrevemos que, numa seqüência, tem-se a5 = 7, por exemplo, observe que o índice 5 indica a posição que o termo ocupa na seqüência. No caso, trata-se do 5º termo da seqüência. Já o símbolo a5 indica o valor do termo que está na 5º posição. No caso o valor do quinto termo é 7.
A razão de uma PA é indicada por r, pois ela representa a diferença entre qualquer termo da PA e o termo anterior.
Na PA 1856, 1863, 1870, 1877, 1884 a razão é r = 7, pois:
a2 – a1 = 1863 - 1856 = 7
a3 – a2 = 1870 – 1863 = 7
a4 – a3 = 1877 – 1870 = 7
a5 – a4 = 1884 – 1877 = 7
Na PA 20, 15, 10, 5 a razão é r = -5, pois:
a2 – a1 = 15 – 20 = -5
a3 – a2 = 10 – 15 = -5
a4 – a3 = 5 – 10 = -5
Classificação das progressões aritméticas
Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja positiva.
Exemplo:
(7, 11, 15, 19,...) é uma PA crescente. Note que sua razão é positiva, r = 4
Uma PA é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja negativa.
Exemplo:
(50, 40, 30, 20,...) é uma PA decrescente. Note que sua razão é negativa, r = -10
Uma PA é constante quando todos os seus termos são iguais. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que sua razão seja igual a zero.
Exemplo:
Determine x para que a seqüência (3+ x, 5x, 2x + 11) seja PA.
5x – ( 3 + x ) = 2x + 11 – 5x
5x – 3 – x = 2x +11 – 5x
5x – x – 2x + 5x = 11 + 3
7x = 14
x = 14/7 = 2
Fórmula do termo geral da PA
an = a1 + (n – 1).r
Determinar o 61º termo da PA (9, 13, 17, 21,...)
r = 4 a1 = 9 n = 61 a61 = ?
a61 = 9 + (61 – 1).4
a61 = 9 + 60.4 = 9 + 240 = 249
Determinar a razão da PA (a1, a2, a3,...) em que a1 = 2 e a8 = 3
an = a1 + ( n – 1 ).r
a8 = a1 + (8 – 1 ).r
a8 = a1 + 7r
3 = 2 + 7r
7r = 3 – 2
7r = 1
r = 1/7
Determinar o número de termos da PA (4,7,10,...,136)
a1 = 4 an = 136 r = 7 – 4 = 3
an = a1 + (n – 1).r
136 = 4 + (n – 1).3
136 = 4 + 3n – 3
3n = 136 – 4 + 3
3n = 135
n = 135/3 = 45 termos
Determinar a razão da PA tal que:
a1 + a4 = 12 e a3 + a5 = 18
a4 = a1 + (4 – 1).r a3 = a1 + (3 – 1).r a5 = a1 + 4r
a4 = a1 + 3r a3 = a1 + 2r
a1 + a1 + 3r = 12
a1 + 2r + a1 + 4r = 18
2a1 + 3r = 12
2a1 + 6r = 18
3r = 6
r = 6/3 = 2
Interpolar (inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem .
Interpolar (ou inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem, significa determinar a PA de primeiro termo igual a 1 e último termo igual a 25.
(1,_,_,_,_,_,25)
a7 = a1 + 6r
25 = 1 + 6r
6r = 24
r = 24/6
r = 4
(1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)
Representação genérica de uma PA
PA de três termos:
(x, x + r, x + 2r)
ou
(x – r, x , x + r), em que a razão é r
PA de quatro termos:
(x, x + r, x + 2r, x + 3r)
ou
(x – 3r, x – r, x + r, x + 3r), em que a razão é 2r
# Essa é a introdução de P.A =)
