Desafio do centro de Gravidade.

   O objetivo do experimento é conseguir equilibrar dez pregos somente na ponta de um prego. Para realizarmos serão usados 11 pregos grandes, uma pequena chapa de madeira e um martelo. Deverão ser colocados oito pregos sobre o prego que será colocado no pedaço de madeira.  Após colocar todos os pregos, o último prego de verá ser colocado sobre os demais pregos na mesma direção do prego base. Para que o conjunto fique mais firme, coloque o último prego com a cabeça no sentido oposto à cabeça do prego base. Centro gravitacional é a média de todo o peso que um objeto exerce. Em alguns casos esse ponto acaba sendo fora do próprio objeto. Para que o equilíbrio seja estável, é necessário que o ponto de apoio esteja exatamente ou abaixo do ponto de apoio, e isso é demonstrado na experiência.
   

    

                                          

  O experimento possui como objetivo principal mostrar, de forma clara e objetiva, o conjunto que ficou em equilíbrio pelo fato do prego estar preso a superfície de madeira, fazendo com que o conjunto permanecesse fixo. Esse fato está diretamente relacionado ao centro de gravidade, local onde se “concentra”  toda massa do objeto. Para o experimento funcionar é necessário que o centro de gravidade esteja localizado abaixo do centro de apoio. Desta maneira a média dos centros gravitacionais de cada um dos pregos se resume a um centro de gravidade localizado no ponto de apoio do experimento.

                                           

O experimento citado acima, foi realizado para a matéria de física. Juntamente com o professor Victor Damião.

                                                    

Tirinha sobre Matrizes, Bem Legal!

Tipos de MATRIZES

Matriz quadrada

Dizemos que uma matriz A de ordem m x n é quadrada, quando m = n. Isso significa que o número de linhas será igual ao número de colunas. Podemos representar este tipo de matriz por A_n.

Exemplos:

Matriz triangular

Uma matriz de ondem n (quadrada) é triangular quando todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos (iguais à zero).

Exemplos:

Scot, Scot...   O enunciado diz que os elementos acima OU abaixo da diagonal principal, na matriz quadrada, são nulos, ou seja, somente uma dessas partes (acima ou abaixo) deverá estar nula para caracterizar uma matriz quadrada. Quando estas duas partes são nulas, temos outro tipo de matriz, a diagonal, como veremos em seguida.

Matriz diagonal

A matriz, de ordem n (quadrada), diagonal é aquela em que todos os elementos acima e baixo da diagonal principal são nulos.

Matriz identidade

Matriz identidade é uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os elementos acima e abaixo desta diagonal são nulos (iguais a zero). Podemos representar esta matriz por I_n.

Matriz nula

Numa matriz nula, todos os elementos são iguais à zero. Podemos representar uma matriz nula m x n por 0_{m x n}; caso ela seja quadrada, indica-se por 0_n.

Matriz linha

É toda matriz que possui apenas uma linha. Numa matriz linha m x n, m = 1.

Matriz coluna

É toda matriz que possui apenas uma coluna. Numa matriz coluna m x n, n = 1.

Como a MATRIZ é representada

Uma matriz é, em geral, representa por uma letra maiúscula do nosso alfabeto (A, B, C, ...Z), enquanto os seus termos são representados pela mesma letra, desta vez minúscula, acompanhada de dois índices (a₁₁   a₁₂   a_{13 ...} a_mn), onde o primeiro representa a linha e o segundo a coluna em que o elemento está localizado.

Uma representação genérica de matriz é mostrada em seguida:

  

Chamemos esta matriz de A, e sua ordem é m x n, ou seja, m linhas e n colunas. Nela podemos observar o elemento a_ij, onde i representa a linha e j a coluna. Tomemos como exemplo o elemento a₃₂ → i = 3 e j = 2. O elemento está localizado na 3ª linha e na 2ª coluna. Ainda podemos chamar esta matriz de A = (a_ij)_{m x n.}

Conceito Básico de MATRIZES

Para compreendermos a conceituação de matriz, precisamos aderir à convenção dos matemáticos em que a ordenação das linhas de uma matriz seja dada de cima para baixo, e a ordenação das colunas, da esquerda para a direita. Veja o exemplo abaixo e perceba a prática desta convenção.

Vejamos mais detalhadamente o resultado desta convenção.

Em termos gerais: uma matriz m x n, com m e n números naturais não nulos, é toda tabela composta por m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas.

Matrizes 1ª parte

O desenvolvimento das matrizes ocorreu a partir do século XIX, apesar de ter representações de números semelhantes as matrizes modernas desde a Era Cristã, com matemáticos como Arthur Cayley, Augustin-Louis Cauchy e William Rowan Hamilton. Recentemente, com as planilhas eletrônicas de computador, podem ser feitos cálculos antes realizados à mão, de maneira cansativa e lenta. Essas planilhas, em geral, são formadas por tabelas que armazenam os dados utilizados no problema.

Este trabalho abordará a definição e os tipos de matrizes, sendo as operações trabalhadas minuciosamente em artigos posteriores. A intenção aqui formar um alicerce seguro para o desenvolvimento de operações matriciais futuras, sem que o estudante perca tempo ou enfrente dificuldades.

As matrizes serão cobradas nos vestibulares onde forem pedidas as competências básicas de matemática. Ela ainda será encontrada em diversas outras áreas, a exemplo da física, administração, engenharia, computação gráfica entre outras.

Conceituando matriz

Para compreendermos a conceituação de matriz, precisamos aderir à convenção dos matemáticos em que a ordenação das linhas de uma matriz seja dada de cima para baixo, e a ordenação das colunas, da esquerda para a direita. Veja o exemplo abaixo e perceba a prática desta convenção.

   Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

ou, abreviadamente, A = [a_ij]_{m x n}, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a₂₃ é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.

   Na matriz 

, temos:

   Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a₁₁ = -1, a₁₂ = 0, a₁₃ = 2 e a₁₄ = 5.

Notação geral

   Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.

   Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

ou, abreviadamente, A = [a_ij]_{m x n}, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a₂₃ é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.

   Na matriz 

                         , temos:

   Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a₁₁ = -1, a₁₂ = 0, a₁₃ = 2 e a₁₄ = 5.

Questões:

01. Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j.


02. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 eA^t sua transposta, determine A, tal que A = 2 .A^t.


03. (UNIV. CATÓLICA DE GOIÁS) Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A = A^T e é dita anti-simétrica se A^T = -A, onde A^T é a matriz transposta de A. Sendo A uma matriz quadrada, classifique em verdadeira ou falsa as duas afirmações:

(01) A + A^T é uma matriz simétrica
(02) A - A^T é uma matriz anti-simétrica


04. Se uma matriz quadrada A é tal que A^t = -A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e:

Os termos a12, a13 e a23 de M, valem respectivamente:

a) -4, -2 e 4
b) 4, 2 e -4
c) 4, -2 e -4
d) 2, -4 e 2
e) 2, 2 e 4
 

a) x = y = 0
b) x = y = m = n = 0
c) x = y e m = n
d) y = -2x e n = -2m
e) x = -2y e m = -2n

Por: Karla Santana