Matrizes 1ª parte

O desenvolvimento das matrizes ocorreu a partir do século XIX, apesar de ter representações de números semelhantes as matrizes modernas desde a Era Cristã, com matemáticos como Arthur Cayley, Augustin-Louis Cauchy e William Rowan Hamilton. Recentemente, com as planilhas eletrônicas de computador, podem ser feitos cálculos antes realizados à mão, de maneira cansativa e lenta. Essas planilhas, em geral, são formadas por tabelas que armazenam os dados utilizados no problema.

Este trabalho abordará a definição e os tipos de matrizes, sendo as operações trabalhadas minuciosamente em artigos posteriores. A intenção aqui formar um alicerce seguro para o desenvolvimento de operações matriciais futuras, sem que o estudante perca tempo ou enfrente dificuldades.

As matrizes serão cobradas nos vestibulares onde forem pedidas as competências básicas de matemática. Ela ainda será encontrada em diversas outras áreas, a exemplo da física, administração, engenharia, computação gráfica entre outras.

Conceituando matriz

Para compreendermos a conceituação de matriz, precisamos aderir à convenção dos matemáticos em que a ordenação das linhas de uma matriz seja dada de cima para baixo, e a ordenação das colunas, da esquerda para a direita. Veja o exemplo abaixo e perceba a prática desta convenção.

   Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

ou, abreviadamente, A = [a_ij]_{m x n}, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a₂₃ é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.

   Na matriz 

, temos:

   Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a₁₁ = -1, a₁₂ = 0, a₁₃ = 2 e a₁₄ = 5.

Notação geral

   Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.

   Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

ou, abreviadamente, A = [a_ij]_{m x n}, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a₂₃ é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.

   Na matriz 

                         , temos:

   Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a₁₁ = -1, a₁₂ = 0, a₁₃ = 2 e a₁₄ = 5.

Questões:

01. Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j.


02. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 eA^t sua transposta, determine A, tal que A = 2 .A^t.


03. (UNIV. CATÓLICA DE GOIÁS) Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A = A^T e é dita anti-simétrica se A^T = -A, onde A^T é a matriz transposta de A. Sendo A uma matriz quadrada, classifique em verdadeira ou falsa as duas afirmações:

(01) A + A^T é uma matriz simétrica
(02) A - A^T é uma matriz anti-simétrica


04. Se uma matriz quadrada A é tal que A^t = -A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e:

Os termos a12, a13 e a23 de M, valem respectivamente:

a) -4, -2 e 4
b) 4, 2 e -4
c) 4, -2 e -4
d) 2, -4 e 2
e) 2, 2 e 4
 

a) x = y = 0
b) x = y = m = n = 0
c) x = y e m = n
d) y = -2x e n = -2m
e) x = -2y e m = -2n

Por: Karla Santana